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マンガ「紫色のクオリア」2巻の数学の問題

 原作うえお久光、作画綱島志朗「紫色のクオリア」の続き。

 マンガ「紫色のクオリア」2巻で、天条七美がアリス・フォイルを試すために以下の問いかけをしていた。

 \(\; a\; \)は0でない実数とする。関数\( f(x) = (3x^2-4) (x-a+\frac{1}{a}) \)の極大値と極小値の差が最小となる\(\; a\; \)の値を求めよ。

「紫色のクオリア」2巻P.51

 なんかセンター試験っぽい問題だなと思いながら、解いてみることにした。

 \( f(x) \)が極値を持つときは\( f'(x) = 0 \)なので、\( f(x) \)を\( x \)で微分する。

\begin{align} f'(x) &= 6x \cdot \left( x-a+\frac{1}{a} \right) + (3x^2-4) \\ &= 9x^2 - 6ax + \frac{6x}{a} - 4 \\ &= 9x^2 - 6\left( a - \frac{1}{a} \right) x -4 \end{align}

 \( f'(x) = 0 \)の判別式\( D/4 \)を調べる。

\begin{align} D/4 &= \left\{ 3\left( a-\frac{1}{a} \right) \right\}^2 - 9\cdot (-4) \\ &= 9a^2 -18 + \frac{9}{a^2} + 36 \\ &= 9a^2 +18 + \frac{9}{a^2} \\ &= 9 \left( a + \frac{1}{a} \right)^2 > 0 \end{align}

 \( D/4 > 0 \)なので、関数\( f(x) \)は\(a\)によらず常に極値を2つ持つ。二次方程式の解の公式を考えると\( D/4 \)が最小となるとき、\( f(x) \)が極大値をとる\(x\)と、\( f(x) \)が極小値をとる\(x\)の差が最小となる。関数\( f(x) \)の\( x^3 \)の係数は定数なので、極大値をとる\(x\)と\( f(x) \)が極小値をとる\(x\)の差が小さければ小さいほど\( f(x) \)の極大値と極小値の差が小さくなる。従って\( D/4 \)が最小となるとき、\( f(x) \)の極大値と極小値の差が小さくなる。

 相加相乗平均の不等式から

\begin{equation} a + \frac{1}{a} \geq 2 \sqrt{ a \cdot \frac{1}{a} } = 2 \end{equation}

 等号成立は\( a= \frac{1}{a} \)のとき、すなわち\( a = \pm 1 \)のとき。

 従って、\( a = \pm 1 \)のとき\( f(x) = (3x^2-4) (x-a+\frac{1}{a}) \)の極大値と極小値の差が最小となる。

 Grapherでも検証してみた。

150505f(x).png

↑Grapherで再現したf(x)のグラフ。黒線が\(a=1\)、灰色の線が\( -3 \leq a \leq 3 \)の整数。

 たぶん、\( a = \pm 1 \)が極大値と極小値の差が一番小さい。

 計算間違いが多くてなかなか答えにたどり着けなかった。一応、マンガ内での正解も\( a = \pm 1 \)であった。上の日本語の説明がちょっとあやしいが、Grapherのグラフで直感的に理解してもらうよう勘弁してください。

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  1. 2015/05/05(火) 22:39:01|
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