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遺伝に伴う血液型の割合の推移

 血液型の種類はA、B、AB、Oと4種類ある。輸血や献血で参照するだけでなく、日本では血液型占いもそこそこ市民権を得ている。日本人はA型が多いと聞くし、私もA型である。

 血液型の遺伝は中学校で習う。厳密にはAB、AA、AO、BB、BO、OOの6つの種類があり、その交配によるF1世代、F2世代も血液型の割合がメンデルの法則に基づき算出できる。

 日本人の血液型は他の民族に比べてだいぶ均等にばらけており、日本人のABO式血液型の分布は大まかに、A型が40%、B型が20%、O型が30%、AB型が10%であるABO式血液型 - Wikipedia。この割合は将来的にある割合に収束していくのか、変動しながらくり返して行くのか、どのような挙動を示すのか一度職場で議論になった。

 ヒマだったので考えてみた。

 まず、6つの血液型同士のF1世代の割合を算出してみた。組み合わせは6 x 6 = 36通りである。

親の血液型ABAAAOBBBOOO
1ABAB1/21/41/4
2ABAA1/21/2
3ABAO1/41/41/41/4
4ABBB1/21/2
5ABBO1/41/41/41/4
6ABOO1/21/2
7AAAB1/21/2
8AAAA1
9AAAO1/21/2
10AABB1
11AABO1/21/2
12AAOO1
13AOAB1/41/41/41/4
14AOAA1/21/2
15AOAO1/41/21/4
16AOBB1/21/2
17AOBO1/41/41/41/4
18AOOO1/21/2
19BBAB1/21/2
20BBAA1
21BBAO1/21/2
22BBBB1
23BBBO1/21/2
24BBOO1
25BOAB1/41/41/41/4
26BOAA1/21/2
27BOAO1/41/41/41/4
28BOBB1/21/2
29BOBO1/41/21/4
30BOOO1/21/2
31OOAB1/21/2
32OOAA1
33OOAO1/21/2
34OOBB1
35OOBO1/21/2
36OOOO1

 もともとの親の世代のAB、AA、AO、BB、BO、OOの6種類の人口の割合が分かっていれば、それらを掛け合わせることでF1世代の各血液型の人口の割合を算出することができる。各血液型の人口の割合を\( BT_{n} , BT = \{AB, AA, AO, BB, BO, OO\}, n\in N \)とすると、\( n+1 \)世代の各血液型の人口の割合は以下の漸化式で表すことができる。

 式の冒頭に2をかけているのは、{男AO,女BO}={男BO,女AO}のように性別の差を交換可能と考え、同じものとして合計したためである。冒頭の2をかけて式を整理すると以下のようになる。

 この6つの変数の漸化式をただ解けばよいのだが、かけ算が入っているため、ちょっと私には手に負えない。そこで数値計算に頼ることにした。

 数値計算といっても大して難しくない。表計算ソフトで上と同じ表を作成し、初期値\( BT_{1} , BT = \{AB, AA, AO, BB, BO, OO\} \)を適当に設定して計算させるだけである。漸化式はコンピュータの得意とする繰り返し計算なので簡単にできた。

 いくつかの初期値を与えてみたのだが、1つの驚くべき仮説を得た。

 5つか6つの初期値を与えただけなので断定できないが、すべて\(BT_3=BT_2\)なのである。

 ここでは2つの例を示す。

4種の血液型が均等であると考えた場合
割合 F1 F2
n=1 n=2 n=3
AB 0.25 0.195 0.195
AA 0.125 0.098 0.098
AO 0.125 0.234 0.234
BB 0.125 0.098 0.098
BO 0.125 0.234 0.234
OO 0.25 0.141 0.141
Wikipediaによる日本人の血液型構成
割合 F1 F2
n=1 n=2 n=3
AB 0.1 0.1400 0.1400
AA 0.2 0.1225 0.1225
AO 0.2 0.3150 0.3150
BB 0.1 0.0400 0.0400
BO 0.1 0.1800 0.1800
OO 0.3 0.2025 0.2025

 いずれもAAとAO、BBとBOはさらに均等に分けている。

 このような結果が得られてしまったので、初期値をいじるだけでF3世代までは計算していない。もっと初期値によらずある割合に近づいていくとか、特定の血液型に偏っていくような結果を想定していたため、F1世代で収束する意外な結果になった。

 こうなると、せめて\( BT_{n+1} = BT_{n} \)だけでも証明してみたいものだが、数値計算に頼ってしまうと一般化が難しい。うまく解く方法はないだろうか。

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  1. 2014/08/12(火) 12:47:05|
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