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再・ブランコからの靴飛ばし時の飛距離の計算

 ブランコからの靴飛ばし時の飛距離の計算の式がもう少し簡略化できることに気づいたので書き直した。具体的には以下の通り。ついでに\(\LaTeX\)からMathJaxで表示できるように変更した。

問題

 ブランコを立ちこぎしながら靴を飛ばすことを考える。

 靴の飛距離が最も長くなるようなブランコの振れ幅を求めよ。

条件設定

ブランコから射出する靴の軌道

↑ブランコから射出する靴の軌道

解答

靴を射出するまで

 ブランコのチェーンの長さを\(l\)、鉛直線に対するブランコの振れ幅を\(\theta\)、ブランコの板と乗る人と靴の質量を\(M\)とする。また、靴の射出速度を\(v_1\)、靴を射出する瞬間のブランコの高さを\(h_1\)とする。

 ブランコが最高点に達したときの地上からの高さを\(h_0\)とすると、エネルギー保存の法則から式(1)が導ける。

\begin{equation} \frac{1}{2}Mv_1^2 + Mgh_1 = 0 + Mgh_0 \tag{1} \end{equation}

 式(1)を\(v_1\)について解く。

\begin{equation} v_1 = \sqrt{2g(h_0 - h_1)} \tag{2} \end{equation}

 式(2)より、\(h_0\)が大きければ大きいほど靴の射出速度\(v_1\)が大きくなるのがわかる。

 ここで、条件設定1から靴の射出速度\(v_1\)はブランコの速度と同じであるため、\(h_0\)が大きければ大きいほど射出速度\(v_1\)は大きくなり、ひいては飛距離が伸びる。

 計算を簡略化させるため、条件設定2の最大振れ幅を採用し、\(h_0 = l\)とする。このとき、式(2)は次の式(3)になる。

\begin{equation} v_1 = \sqrt{2g(l - h_1)} \tag{3} \end{equation}

 さらに、幾何的に\( \quad h_1 = l(1-\cos \theta) \quad \)なので、

\begin{equation} v_1 = \sqrt{2gl \cos \theta} \tag{4} \end{equation}

 となる。靴射出時のブランコ最下点からの水平距離\(x_1\)は同様に幾何的に以下のようになる。

\begin{equation} x_1 = l \sin \theta \tag{5} \end{equation}
靴を射出してから最高点に達するまで

 靴を射出してから最高点に達するまでの時間を\(t_2\)とする。鉛直方向の速度について式(6)が成り立つ。

\begin{align} v_1 \sin \theta - gt_2 &= 0 \notag \\ t_2 &= \frac{v_1 \sin \theta}{g} \tag{6} \end{align}

 水平方向に対しては等速運動であるため、式(7)が成り立つ。

\begin{align} x_2 &= v_1 \cos \theta \cdot t_2 \notag \\ &= \frac{v_1^2 \sin \theta \cos \theta}{g} \tag{7} \end{align}

 靴が最高点に達したときの高さ\(h_2\)は式(8)で表される。

\begin{equation} h_2 = h_1 + v_1 \sin \theta \cdot t_2 - \frac{1}{2}gt_2^2 \tag{8} \end{equation}
靴が最高点に達してから地面に着地するまで

 靴が最高点に達してから地面に着地するまでの時間を\(t_3\)とする。鉛直方向の高さについて式(9)が成り立つ。

\begin{align} h_2 - \frac{1}{2}gt_3^2 &= 0 \notag \\ t_3 &= \sqrt{\frac{2h_2}{g}} \tag{9} \end{align}

 水平方向に対しては等速運動であるため、式(10)が成り立つ。

\begin{align} x_3 &= v_1 \cos \theta \cdot t_3 \notag \\ &= v_1 \cos \theta \cdot \sqrt{\frac{2h_2}{g}} \tag{10} \end{align}
ひたすら計算する

 靴の飛距離は式(11)で表される。

\begin{equation} x = x_1 + x_2 + x_3 \tag{11} \end{equation}

 足し算する前に\(x_2\)と\(x_3\)の計算を進める。

 式(7)に式(4) \( \quad v_1 = \sqrt{2gl \cos \theta} \quad \)を代入する。

\begin{align} x_2 &= \frac{v_1^2 \sin \theta \cos \theta}{g} \notag \\ &= \frac{2gl \cos \theta \cdot \sin \theta \cos \theta}{g} \notag \\ &= 2l \sin \theta \cos ^2 \theta \tag{12} \end{align}

 式(10)に式(8) \( \quad h_2 = h_1 + v_1 \sin \theta \cdot t_2 - \frac{1}{2}gt_2^2 \quad \)を代入する。

\begin{align} x_3 &= v_1 \cos \theta \cdot \sqrt{\frac{2h_2}{g}} \notag \\ &= v_1 \cos \theta \cdot \sqrt{\frac{2(h_1 + v_1 \sin \theta \cdot t_2 - \frac{1}{2}gt_2^2)}{g}} \tag{13} \end{align}

 式(13)に式(6) \( \quad t_2 = \frac{v_1 \sin \theta}{g} \quad \)を代入する。

\begin{align} x_3 &= v_1 \cos \theta \cdot \sqrt{\frac{2(h_1 + v_1 \sin \theta \cdot t_2 - \frac{1}{2}gt_2^2)}{g}} \notag \\ &= v_1 \cos \theta \cdot \sqrt{\frac{2(h_1 + v_1 \sin \theta \cdot \frac{v_1 \sin \theta}{g} - \frac{1}{2}g\frac{v_1^2 \sin ^2 \theta}{g^2})}{g}} \notag \\ &= v_1 \cos \theta \cdot \sqrt{\frac{2(h_1 + \frac{v_1^2 \sin ^2 \theta}{g} - \frac{v_1^2 \sin ^2 \theta}{2g})}{g}} \notag \\ &= v_1 \cos \theta \cdot \sqrt{\frac{2(h_1 + \frac{v_1^2 \sin ^2 \theta}{2g})}{g}} \notag \\ &= v_1 \cos \theta \cdot \frac{1}{g} \sqrt{2gh_1 + v_1^2 \sin ^2 \theta} \tag{14} \end{align}

 \(\sqrt{\quad}\)の中に\(h_1 = l(1-\cos \theta)\)、式(4) \( \quad v_1 = \sqrt{2gl \cos \theta} \quad \)を代入する。

\begin{align} x_3 &= v_1 \cos \theta \cdot \frac{1}{g} \sqrt{2gh_1 + v_1^2 \sin ^2 \theta} \notag \\ &= v_1 \cos \theta \cdot \frac{1}{g} \sqrt{2gl(1-\cos \theta) + 2gl \cos \theta \cdot \sin ^2 \theta} \notag \\ &= v_1 \cos \theta \cdot \frac{1}{g} \sqrt{2gl(1-\cos \theta + \cos \theta \cdot \sin ^2 \theta)} \notag \\ &= v_1 \cos \theta \cdot \frac{1}{g} \sqrt{2gl \left\{ 1-\cos \theta + \cos \theta \cdot ( 1 - \cos ^2 \theta ) \right\} } \notag \\ &= v_1 \cos \theta \cdot \frac{1}{g} \sqrt{2gl(1-\cos ^3 \theta )} \tag{15} \end{align}

 \(\sqrt{\quad}\)の外にも式(4) \( \quad v_1 = \sqrt{2gl \cos \theta} \quad \)を代入する。

\begin{align} x_3 &= v_1 \cos \theta \cdot \frac{1}{g} \sqrt{2gl(1-\cos ^3 \theta )} \notag \\ &= \sqrt{2gl \cos \theta} \cdot \cos \theta \cdot \frac{1}{g} \sqrt{2gl(1-\cos ^3 \theta )} \notag \\ &= 2l \cos \theta \sqrt{\cos \theta \cdot (1-\cos ^3 \theta )} \tag{16} \end{align}
飛距離の計算

 式(11)に\(x_2\)、\(x_3\)を代入し、靴の飛距離を計算する。

\begin{align} x &= x_1 + x_2 + x_3 \notag \\ &= l\sin \theta + 2l \sin \theta \cos ^2 \theta + 2l \cos \theta \sqrt{\cos \theta \cdot (1-\cos ^3 \theta )} \notag \\ &= l \left[ \sin \theta + 2 \sin \theta \cos ^2 \theta + 2 \cos \theta \sqrt{\cos \theta \cdot (1-\cos ^3 \theta )} \right] \tag{17} \end{align}
飛距離が最大となるブランコの振れ幅

 式(17)が最大となる\(\theta\)は私には代数的に解けないので、数値計算で解く。ソフトウェアにはMac OS X 付属のGrapherを使用する。

ブランコの振れ幅\(\theta \)(グラフ上では横軸\(x\))と飛距離\(x\)(グラフ上では縦軸\(y\))の関係

↑ブランコの振れ幅\(\theta \)(グラフ上では横軸\(x\))と飛距離\(x\)(グラフ上では縦軸\(y\))の関係

 グラフ上では式(17)を\(l\)で割って無次元化している。また、ブランコの振れ幅を\(0<\theta <\frac{\pi}{2}\)に制限しているため、\(x=\frac{\pi}{2}\)のグラフを表示している。

 結果として\(\theta = 0.6339 \)[rad] \( = 36.32\)[deg]のとき、最大値\(x=3.2089l\)まで靴が飛ぶことが分かる。

結論

 \(\theta = 0.6339 \)[rad] \( = 36.32\)[deg]のとき、最大値\(x=3.2089l\)まで靴が飛ぶ。

 グラフをいじっていたら最大値が\(0.001l\)増えたので少し書き替えた。

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  1. 2013/12/31(火) 23:43:04 |
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