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円弧に内接する正方形の問題

 今勾股弦釣九寸股壱弍寸在 内ニ如図等円双ツ入ル 円径ヲ問の関連。ほか、面白そうな問題を解いてみた。

 漫画版「天地明察」P.52より、絵馬に書かれている図形から問題を推定した。

 問題。一辺の長さが1の正方形がある。1辺にある2つの頂点を中心として正方形の内側に半径1の円弧を描く。4つに仕切られた領域のうち、最も大きな面積を持つ領域に内接する正方形の一辺の長さを求めよ。

seihoukei1.png

中山による回答

 一辺1の正方形の頂点をA、B、C、Dとおく。求める正方形の頂点をE、F、G、Hとおく。円弧の中心B、Cから求める正方形の頂点E、Hに補助線をひく。

 求める正方形の1辺の長さを\(x\)とする。このとき、三角形BGHは直角三角形なので、ピタゴラスの定理よりBG=\(\sqrt{1-x^2}\)となる。

seihoukei2.png

 GC=BC-BGなので、GC=\(1-\sqrt{1-x^2}\)。

 図は左右対称なので、BF=GC=\(1-\sqrt{1-x^2}\)。

 FG=BG-BFなので、FG=BG-BF=\( \sqrt{1-x^2} - (1-\sqrt{1-x^2}) = 2\sqrt{1-x^2} - 1 \)。

 ここで、FGは求める正方形の1辺であるので、FG=\(x\)である。

 \( x = 2\sqrt{1-x^2} - 1 \)とおいて、\(x\)について解く。

\begin{align} x &= 2\sqrt{1-x^2} - 1 \\ x + 1 &= 2\sqrt{1-x^2} \\ x^2 + 2x +1 &= 4 - 4x^2 \\ 5x^2 + 2x - 3 &= 0 \\ ( x + 1 )( 5x - 3 ) &= 0 \\ x &= -1, \, \frac{3}{5} \end{align}

 \(x = -1\)は正しくないので、\(x = \frac{3}{5}\)である。

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  1. 2013/02/22(金) 22:24:52|
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