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今勾股弦釣九寸股壱弍寸在 内ニ如図等円双ツ入ル 円径ヲ問

 原作冲方丁、漫画槇えびし「天地明察」1巻を読んだ。

 江戸時代に日本の暦を作ったという渋川春海を題材にした作品だが、この渋川春海、多才で囲碁、天文、算学と何でもできる人だったようだ。江戸時代のなんでも屋さんというと平賀源内が有名だが、この渋川春海は知らなかった。

 作品内に出てくる「今勾股弦釣九寸股壱弍寸在 内ニ如図等円双ツ入ル 円径ヲ問」は渋谷宮益坂の金王八幡に掲げられた算学の問題。渋川春海が回答に日にちを要した問題だが、関孝和は一瞬で解いてしまう。作品内ではその速さを「一瞥即解」と評している。

 私も一瞥即解とはいかないものの時間をかければ回答できるだろうと思って挑戦してみた。直角をはさむ2辺の長さが与えられた直角三角形に2つの円が内接している。このとき円の直径を求めよ、というのが題意である。3:4:5の直角三角形なので中学生にも解けるだろうと思ったが、解法が見つからず三角関数の半角の公式を使ってしまった。しかも公式覚えていなかったので公式を調べてしまった。

中山による解答

 三角形の各頂点をA、B、Cとする。円の中心をD、Eとする。直角三角形なので、ピタゴラスの定理より斜辺の長さは15である。

koukogen.png

 2つの円から三角形の各辺とお互いの円の接点に補助線をひく。斜辺との接点をそれぞれF、Gとする。このとき斜辺は円の接線であるため、補助線と斜辺は直角となる。円の半径をrとおくと、FG=\(2r\)となる。

 角Aを\(\theta\)とおくと、\(\cos \theta = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}\)である。線分ADは角Aの二等分線となっている。この二等分の角度\(\theta /2\)を半角の公式を用いて求める。

\begin{equation} \tan ^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta} = \frac{1-\frac{4}{5}}{1+\frac{4}{5}} = \frac{1}{9} \end{equation}

 したがって\(\tan \frac{\theta}{2} = \frac{1}{3}\)となる。図面からAF=\(3r\)となる。

 同様にしてBG=\(2r\)となり、斜辺は\(2r + 2r + 3r = 15\)となる。これを解けば\(r=\frac{15}{7}\)となり、題意の直径は\(2r=\frac{30}{7}\)となる。

 三角関数の半角の公式を使用する点と、計算量が多いのが美しくない。これよりは中学生でも解ける漫画版P.144の方がすっきりしていてよい。調べてみると、いろんな解法があるようで、直角三角形の内接円を使った考え方もあるようだ。いろんな解法があるのは良問だと思う。

 参考:天地明察で円の直径はどのように求められたのか? - ザリガニが見ていた...。


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(2011/09/23)
槇 えびし

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  1. 2013/02/12(火) 00:57:46|
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  1. 2013/02/14(木) 22:22:57 |
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  1. 2016/08/14(日) 23:11:38 |
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