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100対100の合コンで成立するカップルは1組

 ネット上の面白い画像を紹介するサイトで東京理科大のパンフレットらしきものの画像があり、そこに算数の問題があったので解いてみた。

 [理工学部]

5対5でも、100対100でも、

合コンでは、平均1組のカップルしか

誕生しないことを証明する。

ねたたま : ★ちょwww東京理科大www - ライブドアブログ

 とりあえず、最も簡単な2対2の全組み合わせを考えてみた。

 男の名前をA, B、女の名前をX, Yとする。各人好きになる相手は2人ずつなので、考えられる全組み合わせは24 = 16通り。すべての組み合わせを表1に示す。

組数
Aの好きな相手Bの好きな相手Xの好きな相手Yの好きな相手
1(X)X(A)A1
2(X)X(A)B1
3X{X}{B}A1
4X{X}{B}B1
5(X)Y(A)A1
6(X)[Y](A)[B]2
7XYBA0
8X[Y]B[B]1
9<Y>XA<A>1
10YXAB0
11<Y>{X}{B}<A>2
12Y{X}{B}B1
13<Y>YA<A>1
14Y[Y]A[B]1
15<Y>YB<A>1
16Y[Y]B[B]1
16
表1 2対2のときの全組み合わせ

 ( )はA-Xの組み合わせ、{ }はB-Xの組み合わせ、[ ]はB-Yの組み合わせ、< >はA-Yの組み合わせを示す。

 全組み合わせ16組中、成立しうるカップルの組数は16組なので、平均すると16/16=1組のカップルが誕生することになる。

 次に男女の数を一般化する。

 男の数をa人、女の数をb人とする。男の名前をA, B, C, D, …、女の名前をX, Y, Z, W, …とする。このとき、全組み合わせは、男性a人が女性b人を選ぶので男性サイドはba、女性サイドはab、掛け算するとab·baとなる。

 次に成立しうるカップルの組数を数える。Aの好きな相手がX、Xの好きな相手がAとしたとき、他の男女の取りうる相手の数を考える。Bの好きな相手はb通り、Cの好きな相手はb通り、Dの好きな相手はb通りなので、男サイドはba-1通り(表2 1行目参照)。女サイドはab-1通り。

 Aの好きな相手はX以外にもYやZやWなどb通りとることができる。さらにAだけでなく、BやCやDについてもカップル成立を考えるとAのケースがa通りとることができる(表2 1列目参照)。

Aの好きな相手Bの好きな相手Cの好きな相手Dの好きな相手Xの好きな相手Yの好きな相手Zの好きな相手Wの好きな相手
Xb通りb通りb通りba-1通りAa通りa通りa通りab-1通り
YA
ZA
WA
b通り
AB
XB
YB
ZB
W
AC
XC
YC
ZC
W
AD
XD
YD
ZD
W
a通り
表2 男a人、女b人が参加する合コンでの成立する組み合わせの検討

 すべてを掛け算すると、a·b·ba-1·ab-1 = ab·baのカップルが成立しうることになる。

 全組み合わせab·ba組中、成立しうるカップルの組数はab·ba組なので、平均するとab·ba / ab·ba=1組のカップルが誕生することになる。

 a = 100、b = 100でも上記の議論は成立するので、100対100でも合コンでは、平均1組のカップルしか誕生しない。

 A-XカップルとB-Yカップルを重複してカウントしていると考えて、重複をのぞくために面倒な計算をしていたが、数えているのはあくまでカップルの組数だったので、重複は関係なかった。そのプロセスに3時間くらいかかった。こういう算数の問題を考えるのは楽しいが、遠回りして疲れた。

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  1. 2012/10/22(月) 00:11:29|
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